深入理解Java数据结构与算法:树的基础知识

发表时间: 2017-09-17 13:16

树的基本概念

树具有以下的特点:

(01) 每个节点有零个或多个子节点;

(02) 没有父节点的节点称为根节点;

(03) 每一个非根节点有且只有一个父节点;

(04) 除了根节点外,每个子节点可以分为多个不相交的子树。

树的基本术语

1.结点的度

结点拥有的子树数称为结点的度。度为0的结点称为叶子结点或终端结点,度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点以外,分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。

2.叶子:度为零的结点。

3.分支结点:度不为零的结点。

4.树的度:树中结点的最大的度。

5.层次与深度

6.树的高度:树中结点的最大层次。

7.无序树:如果树中结点的各子树之间的次序是不重要的,可以交换位置。

8.有序树:如果树中结点的各子树之间的次序是重要的, 不可以交换位置。

9.森林:0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根,森林即成为树;删去根,树即成为森林。

树的存储结构

1.简单的顺序存储不能满足树的实现

2.结合顺序存储和链式存储来实现

三种表示方法

•双亲表示法

•孩子表示法

•孩子兄弟表示法

1.双亲表示法

在每个结点中,附设一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置

2.孩子表示法

1.方案一

2.方案二

3.最终方案

把每个结点的孩子结点排列起来,以单链表作为存储结构,则n个结点有n个孩子链表,如果是叶子结点则此单链表为空,然后n个头指针又组成一个线性表,采用顺序存储结构,存放在一个一维数组中

3.孩子兄弟表示法

任意一棵树,它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的,它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此,我们设置两个指针,分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟

二叉树

例子:猜100以内的整数,注意猜的次数不能超过7个,回答者只回答大了还是小了

1.二叉树的定义

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态:二叉树可以是空集;根可以有空的左子树或右子树;或者左、右子树皆为空。

2.二叉树的性质

性质1:在二叉树的第i层上至多有2(i-1) 个结点(i>=1)。

性质2:深度为k的二叉树至多有2(k)-1个结点(k>=1)。

性质3:对任何一颗二叉树T,如果其终端结点数为n0,度为2的 结点 数为n2,则n0 = n2+1.

性质4:包含n个结点的二叉树的高度至少为log2(n+1)。

性质5:如果对一颗有n个结点的完全二叉树(其深度为[log2n]+1) 的结点按层序编号(从第1层到第[log2n]+1层,每层从左到 右),对任意一个结点i(1<=i<=n)有:

1).如果i=1,则结点i是二叉树的根,无双亲;如果i>1,则其双亲是结 点[i/2]

2).如果2i>n,则结点i无左孩子(结点i为叶子结点);否则其左孩 子是结点2i。

3).如果2i+1>n,则结点i无右孩子;否则其右孩子是结点2i+1。

性质1:在二叉树的第i层上至多有2(i-1) 个结点(i>=1)。

证明:下面用”数学归纳法”进行证明。

(1) 当i=1时,第i层的节点数目为2{i-1}=2{0}=1。因为第1层上只有一个根结点,所以命题成立。

(2) 假设当i>1,第i层的节点数目为2{i-1}。这个是根据(1)推断出来的!

下面根据这个假设,推断出”第(i+1)层的节点数目为2{i}“即可。

由于二叉树的每个结点至多有两个孩子,故”第(i+1)层上的结点数目” 最多是 “第i层的结点数目的2倍”。即,第(i+1)层上的结点数目最大值=2×2{i-1}=2{i}。

故假设成立,原命题得证!

性质2:深度为k的二叉树至多有2(k)-1个结点(k>=1)。

证明:在具有相同深度的二叉树中,当每一层都含有最大结点数时,其树中结点数最多。利用”性质1”可知,深度为k的二叉树的结点数至多为:

20+21+…+2k-1=2k-1

故原命题得证!

性质3:对任何一颗二叉树T,如果其终端结点数为n0,度为2的 结点 数为n2,则n0 = n2+1.

证明:因为二叉树中所有结点的度数均不大于2,所以结点总数(记为n)=”0度结点数(n0)” + “1度结点数(n1)” + “2度结点数(n2)”。由此,得到等式一。

(等式一) n=n0+n1+n2

另一方面,0度结点没有孩子,1度结点有一个孩子,2度结点有两个孩子,故二叉树中孩子结点总数是:n1+2n2。此外,只有根不是任何结点的孩子。故二叉树中的结点总数又可表示为等式二。

(等式二) n=n1+2n2+1

由(等式一)和(等式二)计算得到:n0=n2+1。原命题得证!

性质4:包含n个结点的二叉树的高度至少为log2(n+1)。

证明:根据”性质2”可知,高度为k的二叉树最多有2k-1个结点。反之,对于包含n个节点的二叉树的高度至少为log2(n+1)。

特殊二叉树

所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树

线性表结构其实可以理解为树的一种树表达形式

满二叉树

完全二叉树

定义:一棵二叉树中,只有最下面两层结点的度可以小于2,并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。

特点:叶子结点只能出现在最下层和次下层,且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然,一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树,而完全二叉树未必是满二叉树。

二叉查找树

定义:二叉查找树(Binary Search Tree),又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点,x节点包含关键字key,节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点,则key[y] <= key[x];如果y是x的右子树的一个结点,则key[y] >= key[x]。

在二叉查找树中:

(1) 若任意节点的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;

(2) 任意节点的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值;

(3) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。

(4) 没有键值相等的节点(no duplicate nodes)。

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