数据结构基础篇（二）：算法的初步了解

著名数据专家沃斯曾说：算法+数据结构=程序

在上篇中我们大致的介绍了一下数据结构，总结起来就是数据和结构，那算法是什么呢？说白了，算法就是在这些数据上进行一系列的操作，该做什么，先做什么，怎么做，目标实现了没有，比如我们平时设计的方法，设计的函数等等。这样说的话，每个人的想法都不一样，那设计这些操作肯定就会不同，比如1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，有的人设计从头开始加，得出结果之后再加下一个，有的人就是先算1+10=11，然后11x5=55。对比看，那种方法好呢， 当然第二种，为什么呢，因为算的快啊。那么这么多的人，这么多的想法，哪个好，哪个坏，有没有什么评判标准呢，下面我们来讨论一下。

在讨论算法的评判标准前我们先来看一下算法的特性。

1.算法的特性

1.1.输入输出

算法要有零个或多个输入。至少要有一个或多个输出，算法一定是需要输出的，不然还用算法做什么。

1.2.有穷性

算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。

1.3.确定性

算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。算法在一定条件下，只有一条执行路径，相同的输入只能有唯一的输出结果。算法的每个步骤被精确定义无歧义。

1.4.可行性

算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。

那我们应该怎么设计我们的算法，有什么要求么

2.算法的设计

2.1.正确性

算法的正确性是指算法至少应该具有输入，输出和加工处理无歧义、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。

大体分为以下四个层面：

（1）算法程序没有语法错误。

（2）算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果。

（3）算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果。

（4）算法程序对于精心选择的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果。

一般情况下，我们把层次3作为一个算法是否正确的标准。层次1要求最低，层次4是最困难的，我们几乎不可能逐一验证所有的输入都得到正确的结果。

2.2.可读性

算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。

2.3.健壮性

当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。

2.4.时间效率高和存储量低

设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的要求。

我们知道了怎么去设计算法了，但是总不可能每个人设计的都是一模一样的吧，那怎么去评判好坏，怎么去说你的好，他的差呢，有什么依据么？我们来看一下。

3.算法的度量方法

3.1.事后统计方法

事后统计主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。但是这种方法却有很大的缺陷：

（1）必须根据算法事先编制好程序，这通常需要花费大量的时间和精力。如果编制出来发现它根本是很糟糕的算法，那不是竹篮打水一场空么。

（2）时间的比较依赖计算机硬件和软件等环境因素。

（3）算法的测试数据设计困难，并且程序的运行时间往往还与测试数据的规模有很大关系，效率高的算法在小的测试数据面前往往得不到体现。

所以事后统计的方法我们不采用

3.2.事前分析估算法

事前分析估算：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。

抛开计算机硬件和软件这些因素，一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模。所谓问题输入规模是指输入量的多少。

回到开篇我们说的那个问题，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，有的人设计从头开始加，得出结果之后再加下一个，有的人就是先算1+10=11，然后11x5=55,如果我们要加的数字很大呢1+2+
3............................，我相信大家一下子就能看出哪个好坏，同样的输入规模，，前者花费的时间大大超过后者，进而我们才会说后者好，可见，我们在评判算法好坏的时候，使用了时间这个标准。

3.2.1.算法的时间复杂度

定义：在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随着n的关系情况并确定T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间度量，记作：T(n)=O(f(n)).。它表示随着问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

那么f(n)代表什么含义呢？f(n)其实代表的就是你设计的算法基本操作数的函数。那什么叫做基本操作数呢？基本操作数其实就是你算法设计时候要完成目标的语句。

如下：

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基本操作：sum=sum+i，忽略头尾循环判断开销，f(n)=n,T(n)=O(f(n))=O(n)

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基本操作：x++，忽略头尾循环判断开销，f(n)=n的平方,T(n)=O(f(n))=O(n的平法)

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无论n多大，都只执行一次，所以T(n)=O(1)

那么如果f(n)=an+b的时是多少呢，这时候就考虑到我们的数学知识了，大家还记得正无穷么，对于n这个问题规模来说，我们就是争正无穷，一个常数和正无穷相乘还是正无穷，一个常数和正无穷相加自然是正无穷，如果涉及到高阶怎么办，依然是最高阶啊，因为最高阶趋向正无穷最快，后面的跟他比都是小数，所以总结起来f(n)的取法是：去掉常数和系数，取最高次阶。

常见的时间复杂度如下：

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3.2.2.算法的空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需要的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中,n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占空间的函数。

我们在写代码的时候，完全可以用空间来换时间，例如提前存储数据，以备算法的计算。通常，我们都使用“时间复杂度”来指运行时间的需求，使用“空间复杂度”来指空间需求，当不用限定词地使用“复杂度”时，通常都是指时间复杂度。